已知关于x的一元二次方程（已知关于x的一元二次方程3x^2-6x+1-k=0有实数根）

一元二次方程是中学数学的一个重要概念。关于x的一元二次方程3x^2-6x+1-k=0有实数根，引起了我们的注意。这篇文章将探究这个方程及其实数根。

方程的解析式

为了求解这个方程的实数根，我们需要先求出它的解析式。根据二次方程求解公式：

x = (-b ± sqrt(b^2-4ac)) / 2a

其中a、b、c是方程ax^2+bx+c=0的系数。带入3x^2-6x+1-k=0的系数，得到方程的解析式：

x = (3 ± sqrt(9-12(1-k))) / 6

实数根的存在条件

由于题目要求方程有实数根，所以需要满足sqrt(9-12(1-k))大于等于0。化简可得：

k ≤ 2.25

因此，当k小于等于2.25时，方程3x^2-6x+1-k=0有实数根。

实数根的性质

通过解析式，我们可以进一步分析方程的实数根。根据正负号的不同，实数根可以分为两种情况：

当k=2.25时，解析式的两个根相等，均为x=1/2。

当k小于2.25时，解析式的两个根不等，一个大于1/2，一个小于1/2。具体来说：

• 当k=2时，方程有两个实数根x=1和x=1/3。
• 当k小于2时，方程有两个实数根，一个大于1/2，一个小于1/2。
• 当k=1.5时，方程有两个实数根x=2/3和x=1/2。
• 当k=1时，方程有两个实数根x=1和x=1/3。

实例分析

以k=1为例，来看方程3x^2-6x+1-k=0的实数根如何求解。根据前面的分析，该方程的解析式为：

x = (3 ± sqrt(2)) / 6

计算可得，方程的两个实数根分别为x=1和x=1/3。

这意味着，当k=1时，3x^2-6x+1-k=0的解为x=1或x=1/3。我们可以通过代入验证，得到方程的两个解分别为：

3x^2-6x+1-1=0的解为x=1；

3x^2-6x+1-1=0的解为x=1/3。

结论

综上所述，关于x的一元二次方程3x^2-6x+1-k=0有实数根的条件是k小于等于2.25。当k=2.25时，方程有唯一一个实数根x=1/2；当k小于2.25时，方程有两个实数根，一个大于1/2，一个小于1/2。本文通过解析式的推导以及实例的分析，深入探讨了这个一元二次方程的性质与求解方法。